Tecniche di MM - Il Criterio di Kelly

Il Criterio di Kelly è una Tecnica di Money Management che consente di stabilire la dimensione di una posizione da aprire con un'equazione matematica in cui non sono presenti parametri discrezionali.
Lo scopo della formula è quello di determinare la dimensione ottimale di una serie di operazioni al fine di massimizzare sul lungo termine i guadagni minimizzando le perdite.

La teoria è stata enunciata da John Larry Kelly, Jr. nel 1956 sul Bell System Technical Journal.
Successivamente Edward O. Thorp ha dimostrato l'uso pratico della formula in un articolo del 1961 per la American Mathematical Society e, più tardi, nel suo libro Beat the Dealer (con Sheen Kassou).
Sebbene il Criterio di Kelly prometta di fare meglio di ogni altra strategia di investimento, molti economisti si sono battuti strenuamente contro di esso, poiché ritenuto (a ragione, come abbiamo fatto vedere anche noi a questo link) troppo rischioso.
Anche i suoi sostenitori ritengono in generale che la Quota di Kelly debba essere frazionata (nel senso che bisognerebbe investire soltanto una frazione fissa della quantità raccomandata da questo metodo) per una serie di motivi pratici, come ad esempio quello di cercare di ridurre la volatilità dovuta a possibili modifiche dei valori probabilistici che si attribuiscono ad un determinato fenomeno aleatorio.
Per poter utilizzare correttamente il Criterio di Kelly è necessario, infatti, conoscere perfettamente la probabilità del verificarsi di un certo evento, cosa non sempre possibile.

IL CRITERIO DI KELLY NEL BETTING E NEL GAMBLING

Per scommesse semplici con due possibili risultati, uno che prevede la perdita dell'intera somma ed uno la vincita della somma scommessa moltiplicata per un certo valore, la Formula di Kelly può essere scritta come:

dove:
f* è la frazione delle risorse finanziarie da scommettere;
b è il vantaggio netto ricevibile dalla scommessa (nel senso che, per ogni euro scommesso, se ne possono vincere b);
p è la probabilità di vincita;
q è la probabilità di perdita (pari, nelle scommesse a 2 stati, ad 1 − p).

Per esempio, se una scommessa ha il 60% di probabilità di vincita (p = 0.60, q = 0.40) ma lo scommettitore riceve un vantaggio di 1-ad-1 su ogni scommessa (b = 1), allora egli dovrebbe puntare il 20% del capitale ad ogni occasione (f* = 0.20), in modo da massimizzare il suo capitale sul lungo termine.

Si noti come, in caso di vantaggio unitario, la frazione del proprio capitale da scommettere sia maggiore di 0 solo quando le probabilità di vincita risultano maggiori del 50%.

IL CRITERIO DI KELLY NEL TRADING

Condizione necessaria affinché la Formula di Kelly possa essere utilizzata per la determinazione della frazione ottima di capitale da investire (Optimal f) è che la distribuzione dei risultati di trading sia una distribuzione di Bernoulli.
Una distribuzione si dice di Bernoulli se gli esiti dei singoli trades possono assumere soltanto due valori, come ad esempio nella sequenza: +100, -50, -50, +100, +100, -50, +100, … e così via.
Consideriamo a questo punto una distribuzione di trades di Bernoulli e calcoliamo, banalmente ed empiricamente, la percentuale profittevole p del n° di trades vincenti in relazione al n° di trades totali, ed il rapporto r tra la vincita media e la perdita media (entrambe prese in valore assoluto, ovviamente).
Adesso utilizzando la Formula di Kelly (riquadro blu della slide 1) è possibile calcolare il valore dell' optimal fixed fractional nel trading, vale a dire quella frazione ottima di capitale f* che garantirebbe la crescita esponenziale del conto con la maggior velocità possibile rispetto a qualunque altro livello f di rischio.

Esempio 1

Nel caso riportato nell'esempio a seguire, per una percentuale profittevole p del 50% ed un win to loss ratio r uguale a 2, si ricava un valore dell' Optimal f (f*) pari a 0,25.
Se stai pensando che rischiare di più ti consentirebbe di guadagnare di più, saresti sicuramente in errore poiché non esiste, in questo caso, la possibilità che il conto cresca più velocemente di quanto garantirebbe il valore dell' Optimal f (f*) trovato.

Esempio 2

Consideriamo a questo punto un'altra distribuzione ma questa volta NON di Bernoulli, come quella riportata di seguito.
In questo caso, per una percentuale profittevole p del 55.5% e per un rapporto di pay-off (win to loss ratio) r di 1.125, la Formula di Kelly fornirebbe una valore dell' Optimal f (f*)completamente errato, cioè di 0.16 a fronte del valore corretto di 0.24 ottenuto attraverso la ricerca del massimo valore della media geometrica (G) del conto dopo n trades.
Ricordiamo, al riguardo, che valgono le uguaglianze: G = (TWR)^(1/n) e TWR = saldo finale / saldo iniziale del conto.

CONSIDERAZIONE FINALE

Come abbiamo fatto notare a questo link, fra tutte le più note Tecniche di Money Management il Criterio di Kelly è quella (tecnica) capace di fare crescere di più un conto di trading.
Però è anche una di quelle che generano una grande esposizione di capitale e che nelle fasi negative (che inevitabilmente ogni sistema di trading - automatico o manuale - attraversa) conducono a degli spaventosi drawdown.
Pertanto non è prudente utilizzare direttamente il Criterio di Kelly: secondo noi, se proprio lo si vuole usare, sarebbe meglio gestire il rischio in maniera dinamica utilizzando un opportuno fattore correttivo che scali dinamicamente il valore dell' Optimal f via via trovato con questo metodo, in modo tale da portarlo entro quella percentuale massima del 2% che noi abbiamo più volte indicato (in questo sito) come il rischio massimo da correre, per una singola operazione, nei mercati fortemente speculativi.